微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 線積分とグリーンの定理の追加問題 2002 年 1 月 29 日

1. 次の線積分を求めよ。^{1}

(1) ∫_{C} y dx + x^{2} dy, C は (0, 0) と (1, 1) を結ぶ次の曲線。 (a) (x, y) = (t, t) (0 ≤ t ≤ 1) (b) (x, y) = (t, t^{2}) (0 ≤ t ≤ 1)

(c) (x, y) = (t^{2}, t) (0 ≤ t ≤ 1) (d) 折れ線 (0, 0) ⟶ (1, 0) ⟶ (1, 1)

(2) ∫_{C} xy dx + (x^{2} − y^{2}) dy, C は (0, 0) と (1, 2) を結ぶ次の曲線。 (a) y = 2x^{2} (0 ≤ x ≤ 1) (b) y = 2x (0 ≤ x ≤ 1)

(3) ∫_{C} x^{2} dx + y^{2} dy, C は x^{2} + y^{2} = 1 を (1, 0) から (−1, 0) へ (a) y ≥ 0, (b) y ≤ 0 で結ぶ次の曲線。

2. 次の線積分を求めよ。ただし、 C には正の向きが与えられているとする。^{2}

(1) ∫_{C} x^{2}y dx + y^{3} dy, C は y = x と y = x^{2} の囲む部分の境界

(2) ∫_{C}(x^{2} + y^{2}) dx + 2xy dy, C は y = x と y = x^{2} の囲む部分の境界

(3) ∫_{C}(x^{2} − y) dx + (x − y^{2}) dy, C は 3 直線 y = 0, x = 1, y = x の囲む三角形の周

(4) ∫_{C} \frac{−y}{x^{2} + y^{2}} dx + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} dy, C は (a) x^{2} + y^{2} = 1, (b) (x − 2)^{2} + y^{2} = 1

(5) ∫_{C} e^{x} cos y dx − e^{x} sin y dy, C は x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0) 定理 D を xy-平面上の単連結領域とする^{3}。 D 上の C^{1} 級関数 P (x, y), Q(x, y) が\frac{∂P}{∂y} = \frac{∂Q}{∂x} を満たすならば、

D 上の C^{2}-級関数 f(x, y) で

\frac{∂f}{∂x} = P, \frac{∂f}{∂y} = Q

を満たすものが存在する。

証明共通の始点、終点を持つ D 内の曲線 C_{1}, C_{2} に対して、閉曲線 C_{1} ∪ (−C_{2}) の内部を Ω とすると、 D は単連結であるから、 Ω は D に含まれる。

よって、 Green の定理より

0 = ∫∫_{Ω} \{\frac{∂Q}{∂x} − \frac{∂P}{∂y} \} dx dy = ∫_{C_{1}∪(−C_{2})}(P dx + Q dy) = ∫_{C_{1}}(P dx + Q dy) − ∫_{C_{2}}(P dx + Q dy)

ゆえに、 ∫_{C_{1}}(P dx + Q dy) = ∫_{C_{2}}(P dx + Q dy). そこで、 1 点 (x_{0}, y_{0}) ∈ D をとり、各点 (x, y) ∈ D に対して

f(x, y) = ∫_{(x_{0},y_{0})}^{(x,y)}{P (ξ, η) dξ + Q(ξ, η) dη}

とおく。右辺の線積分は点 (x_{0}, y_{0}) と点 (x, y) を結ぶ曲線の選び方によらないから、 f(x, y) は一意的に定義される。十分小さい h に対し^{4}、

\frac{f(x + h, y) − f(x, y)}{h} = \frac{1}{h} ∫_{(x,y)}^{(x+h,y)}(P dξ + Q dη) = \frac{1}{h} ∫_{x}^{x+h} P (ξ, y) dξ.

h → 0 として\frac{∂f}{∂x} = P を得る。\frac{∂f}{∂y} = Q につても同様にわかる。 □ 3. 次の線積分は積分路によらないことを示し、その値を求めよ。^{5}

(1) ∫_{(1,0)}^{(0,1)} 2xy dx + (x^{2} − y) dy (2) ∫_{(0,0)}^{(1,π/2)} e^{2} cos y dx − e^{x} sin y dy

1解答： (1) (a) 5/6, (b) 5/6, (c) 13/15, (d) 1 (2) (a) −7/6, (b) −4/3 (3) (a) −1/3, (b) −1/3 2解答： (1) −1/20 (2) 0 (3) 1 (4) (a) 2π, (b) 0 (5) 0 3平面領域 D において、 D 内に描いた任意の単純閉曲線の内部が D に含まれるとき、 D は単連結であるという。 4|h| が十分 0 に近いの意味。 5解答： (1) D = R^{2} で\frac{∂P}{∂y} = \frac{∂Q}{∂x} = 2x, −1/2 (2) D = R^{2} で\frac{∂P}{∂y} = \frac{∂Q}{∂x} = −e^{x} sin y, −1