微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 広義積分の追加問題 2001 年 12 月 21 日

1. 次の広義積分の値を求めよ。^{1}

(1) ∫∫_{D} (1 − x^{2} − y^{2})^{−a/2} dx dy (0 < a < 2)  D = { (x, y) | x^{2} + y^{2} < 1 }
(2) ∫∫_{D} |x − y|^{−a} dx dy (0 < a < 1)  D = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y ≠ x }
(3) ∫∫∫_{D} (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{−a/2} dx dy dz (0 < a < 3)  D = { (x, y, z) | 0 < x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1 }
(4) ∫∫∫_{D} (1 − x^{2} − y^{2} − z^{2})^{−a/2} dx dy dz (0 < a < 2)  D = { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} < 1 }

(5) ∫∫_{D} e^{−px^{2}−qy^{2}} dx dy D = { (x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0 } (p > 0, q > 0)

2. 次の広義積分の値を求めよ (a > 0)。^{2}

(1) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{(x + y)^{4}}  D = \{ (x, y) | x ≥ 1, y ≥ 1 \}
(2) ∫∫_{D} \frac{x^{2}y}{\sqrt{a^{2} − y^{2}}} dx dy  D = \{ (x, y) | 0 ≤ y < a, x^{2} + y^{2} ≤ a^{2} \}
(3) ∫∫_{D} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} dx dy  D = \{ (x, y) | 0 < y ≤ x ≤ 1 \}
(4) ∫∫_{D} \frac{y}{(x^{2} + y^{2})(1 + y^{2})} dx dy  D = \{ (x, y) | 0 < x ≤ y \}
(5) ∫∫_{D} log (x^{2} + y^{2}) dx dy  D = { (x, y) | 0 < x^{2} + y^{2} ≤ 1 }
(6) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{\sqrt{(x^{2} + y^{2}) (a^{2} + x^{2} + y^{2})^{2}}}  D = \{ (x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0 \}
(7) ∫∫∫_{D} \frac{dx dy dz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2} + a^{2})^{2}}  D = \{ (x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 \}
(8) ∫∫_{D} \frac{dx dy}{\sqrt{a^{2} − x^{2} − y^{2}}}  D = \{ (x, y) | x^{2} + y^{2} < a^{2} \}
(9) ∫∫∫_{D} \frac{dx dy dz}{\sqrt{a^{2} − x^{2} − y^{2} − z^{2}}}  D = \{ (x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} < a^{2} \}

3. 累次積分 ∫_{0}^{1}dx∫_{0}^{1}\frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dy, ∫_{0}^{1}dy∫_{0}^{1}\frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx をそれぞれ求めよ。また、広義積分 ∫∫_{D} \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx dy,

(D = { (x, y) | 0 ≤ x, y ≤ 1, (x, y) ≠ (0, 0) }) は存在しないことを示せ。

4. Q = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ) とし、 φ_{Q}(x, y, z) = (x, y, z)Q (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = 2x^{2} + 4y^{2} + 2z^{2} + 2xy + 2yz + 2zx とする。

以下の問に答えよ。^{3}

(1) Q を対角化せよ、即ち、直交行列 P と対角行列 D で Q = P D^{t}P となるものを求めよ。ここで、^{t}P は P の転置行列を表す。 (P が直交行列であるとは P^{t}P = ^{t}P P = E(単位行列) となるときにいう。 )

(2) f(x, y, z) = (2π)^{−3/2}(det Q)^{1/2}e^{− \frac{1}{2} φ_{Q}(x,y,z)} とおくとき ∫∫∫_{R^{3}} f(x, y, z) dx dy dz = 1 を示せ。

(3) ∫∫∫_{R^{3}} xyf(x, y, z) dx dy dz を求め、これが Q の逆行列 Q^{−1} の (1, 2)-成分と一致することを示せ。

1解答： (1) 2π/(2 − a) (2) 2/(1 − a)(2 − a) (3) 4π/(3 − a) (4) 4π/(2 − a) (5) π/4\sqrt{pq} 2解答： (1) 1/24 (2) a^{4}/6 (3) \frac{π}{4} + \frac{1}{2} log 2 (4) π^{2}/8 (5) −π (6) π/2a (7) π^{2}/8a (8) 2πa (9) πa^{2} 3いうまでもないが (2), (3) の結果は偶然ではない。一般の正定値対称行列 Q に対し (2), (3) を示せ。