微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 8 回目出題日 2001 年 8 月 3 日

1. 次の関数の不定積分を求めよ。

(1) \frac{1}{x^{3} + 1}  (2) \frac{x^{3} + 1}{x(x − 1)^{2}}  (3) \frac{\sqrt[4]{x}}{1 + \sqrt{x}}
(4) x + \sqrt{x^{2} + 1}  (5) \frac{1}{(x − 1)\sqrt{2 + x − x^{2}}}  (6) \sqrt{x + \sqrt{2 + x^{2}}}
(7) \frac{1 + sin x}{sin x(1 + cos x)}  (8) \frac{1}{cos^{2} x + 4 sin^{2} x}  (9) \frac{sin x}{1 + sin x}

2. I_{m} = ∫ \frac{dx}{(x^{2} + 1)^{m}} に関し漸化式

I_{m} = \frac{2m − 3}{2(m − 1)}I_{m−1} + \frac{1}{2(m − 1)} \frac{x}{(x^{2} + 1)^{m−1}} , m = 2, 3, …,

が成立することを示せ。更に、これより I_{3} = ∫ \frac{dx}{(x^{2} + 1)^{3}} を求めよ。

3. 次の広義積分の収束・発散を判定せよ。

(1) ∫_{0}^{1} \frac{1 − e^{x}}{x^{4/3}} dx (2) ∫_{1}^{∞} \frac{log x}{x^{3/2}} dx

(3) ∫_{0}^{π} \frac{sin x}{x(π − x)} dx (4) ∫_{1}^{∞} \frac{cos x}{x^{1/2}} dx

ただし、定数 α に対する広義積分 ∫_{a}^{b} \frac{1}{(x − a)^{α}} dx (a, b ∈ R) や ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{α}} dx の収束・

発散の結果は証明なしで用いても構わない。連絡 8 月 6 日（月）午前 10:30 から答案用紙を返却するので、返却を希望する者は理学

部複合棟 412 室 (いつもの教室) に受け取りに来ること。