微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 7 回目出題日 2001 年 7 月 17 日

1. 次の定積分を求めよ。

(1) ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 − x^{2}}} dx (2) ∫_{0}^{1} \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} dx (3) ∫_{0}^{π/4} \frac{1}{cos^{2} x + 3 sin^{2} x} dx
(4) ∫_{0}^{1} log(1 + x^{2}) dx (5) ∫_{0}^{1} x Arctan x dx (6) ∫_{0}^{π/4} log (1 + tan x) dx

ヒント (3) は t = tan x, (6) は t = \frac{π}{4} − x と置換せよ。 2. 次の広義積分を求めよ。

(1) ∫_{0}^{1}(log x)^{2} dx (2) ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x(1 + x^{2})}

3. f(x) が [a, b] で連続で、 f(x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b) かつ f(x_{0}) > 0 なる x_{0} ∈ [a, b] が存在

すれば、

∫_{a}^{b} f(x) dx > 0

であることを示せ。

4. 次の極限を求めよ。

(1) lim_{n→∞} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2^{2}}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n^{2}}} )
(1) lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}} (1 · \sqrt{n^{2} − 1^{2}} + 2 · \sqrt{n^{2} − 2^{2}} + ⋯ + n · \sqrt{n^{2} − n^{2}})

5. 関数 f(x) = \{ \begin{matrix}1 & (x は有理数), \\ 0 & (x は無理数), \end{matrix} は [0, 1] で定積分可能ではないことを示せ。ヒント Darboux の不足和 s(f, Δ), Darboux の過剰和 S(f, Δ) （または上積分・下積分）を

計算してみよ。

6. f(x) を [a, b] 上の連続関数とし f(x) > 0 (x ∈ [a, b]) とする。このとき、

log [\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f(x) dx] ≥ \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} log f(x) dx

を証明せよ。 (この式を Jensen の不等式という。 ) ヒント φ(t) = − log t が凸関数であること、即ち、 φ(t) ≥ φ′(c)(t − c) + φ(c) を満たすこと

を用いよ。