微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 6 回目出題日 2001 年 7 月 3 日

1. 数列 {s_{n}} が lim_{n→∞} s_{2n} = α, lim_{n→∞} s_{2n+1} = β かつ lim_{n→∞}(s_{2n+1} − s_{2n}) = 0 を満たせば、

{s_{n}} は収束列でその極限は α(= β) であることを示せ。

2. Taylor の定理を用いて次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x} − 1 − \frac{x}{2}}{x^{2}} (2) lim_{x→0} \frac{Arctan x − x}{x^{3}}

3. Taylor の定理を用いて、次の不等式を示せ。

1 − x + \frac{x^{2}}{2!} − \frac{x^{3}}{3!} < e^{−x} < 1 − x + \frac{x^{2}}{2!} − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} (x > 0)

4. Taylor の定理を用いて、 f(x) が C^{2}-級のとき、

lim_{h→0} \frac{f(a + h) + f(a − h) − 2f(a)}{h^{2}} = f′′(a)

を証明せよ。

5. 等比級数の和の公式\frac{1−(−x)^{n}}{1+x} = 1 − x + x^{2} − ⋯ + (−x)^{n−1} (x ≠ −1) から

log(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − ⋯ + \frac{(−1)^{n−1}x^{n}}{n} + ∫_{0}^{x} \frac{(−y)^{n}}{1 + y} dy (−1 < x ≤ 1)

を導け。さらに、この式を用いて関数 log(1 + x) のマクローリン展開式

log(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − ⋯ = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}x^{n}}{n} (−1 < x ≤ 1)

を証明せよ。（注意： x = 1 ととれば log 2 = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} が従う。）

6. 関数 y = \frac{x^{3}}{x^{2} − 1} の極値、変曲点などを調べグラフをかけ。 7. 次の級数の収束・発散を調べよ。ただし、 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{γ}} (γ は定数) の収束・発散の結果は

証明なしで用いても構わない。

(1) ∑_{n=1}^{∞} (cos \frac{1}{n} − 1) (2) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{1+ \frac{1}{n}}} (3) ∑_{n=1}^{∞} (1 − \frac{1}{n})^{n^{2}}

ヒント (1) Taylor の定理より cos x = 1 − \frac{1}{2}x^{2} cos θx (0 < θ < 1) を用いよ。

(2) 2^{n} ≥ n (n = 1, 2, …) を用いよ。

8. |a_{n}| ≤ b_{n} かつ lim_{n→∞}(b_{n})^{1/n} = α < 1 であるとき、級数 ∑_{n=1}^{∞} a_{n} は絶対収束をすること

を示せ。ヒント ε = (1 − α)/2 として仮定 lim_{n→∞}(b_{n})^{1/n} = α を定義に従って書き下してみよ。