微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 5 回目出題日 2001 年 6 月 19 日

1. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{cosh x − 1}{sin^{2} x} (2) lim_{x→0} (\frac{1}{x^{2}} − \frac{1}{sin^{2} x})

(3) lim_{x→0} (\frac{tan x}{x})^{\frac{1}{x^{2}}} (4) lim_{x→∞} (\frac{π}{2} − Arctan x)^{\frac{1}{x}}

2. 関数 f(x) = Arcsin (\frac{x + 1}{x − 1}) の定義域および導関数を求めよ。

3. 関数 x = \frac{3at}{1 + t^{3}} , y = \frac{3at^{2}}{1 + t^{3}} に対し\frac{dy}{dx} を求めよ。

4. 次の関数の n 階導関数を求めよ。

(1) x^{3}e^{x} (2) sin 3x · cos x (3) \frac{1}{x^{2} − 3x + 2}

5. (1) f(x)が区間[a, b]で連続かつ(a, b)で微分可能であるとする。このとき、 f′(x) = 0 (a < x < b) であれば f(x) は定数関数であることを平均値の定理より導け。

(2) Arcsin \frac{1}{2}, Arccos \frac{1}{2} を求めよ。

(3) Arcsin x + Arccos x = \frac{π}{2} (−1 ≤ x ≤ 1) を示せ。ヒント： f(x) = Arcsin x + Arccos x に対し (1) を用いよ。

6. f(x) が微分可能かつ lim_{x→∞} f′(x) = α とする。このとき、

lim_{h→∞}(f(x + β) − f(x)) = αβ

であることを証明せよ。

7. f(x) が区間 I で C^{2}-級、 a ∈ I とする。 f(a + h) = f(a) + hf′(a + θh) (0 < θ < 1)

とすれば、 f′′(a) ≠ 0 ならば、

lim_{h→0} θ = 1/2

であることを証明せよ。