微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 4 回目出題日 2001 年 6 月 5 日

1. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{1}{x^{2}} \{2 log(1 + x) − log(1 + 2x)\} (2) lim_{x→∞}(sin \sqrt{x + a} − sin \sqrt{x})

2. 次の関数について、 f′(0), f′_{+}(0), f′_{−}(0) が存在するか。存在すればそれを求めよ。

(1) f(x) = |x| − sin |x|

(2) f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{2x + 1} & (x ≥ 0) \\ ax^{2} + bx + 1 & (x < 0) \end{matrix} (ただし、 a, b は定数。 )

3. 次の関数の導関数を求めよ。

(1) f(x) = (x^{2} + x + 1)^{100} (2) f(x) = (1 + x^{2})^{1/x}

(3) f(x) = \frac{e^{2x}}{x} + log(tan x) (4) f(x) = log \{x + \sqrt{1 + x^{2}}\}

(5) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} sin \frac{1}{x} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix}

4. xy 平面の曲線 y = e^{−(x−a)^{3}} 上に異なる 3 点があり、それらの点における接線がすべて原点を通っている。このような、 a の範囲を求めよ。

5. a > 0, b > 0 とする。微分の定義から、 f(x) が x = c で微分可能ならば、

lim_{h→0} \frac{f(c + ah) − f(c − bh)}{(a + b)h} = f′(c)

であることを証明せよ。