微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 3 回目出題日 2001 年 5 月 25 日

1. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{(1 + x)^{1/5} − (1 − x)^{1/5}}{(1 + 2x)^{1/3} − (1 − 2x)^{1/3}} (2) lim_{x→1+0} \frac{x^{2} + x − 2}{|1 − x|}

2. 次の関数は、 x = 0 で連続であるか調べよ。

f(x) = \{ \begin{matrix}(1 + e^{1/x})^{−1} & (x ≠ 0), \\ 0 & (x = 0). \end{matrix}

3. 次の関数のグラフをかき、定義域および連続性を調べよ。

f(x) = lim_{x→∞} (x + \frac{x}{1 + x} + \frac{x}{(1 + x)^{2}} + ⋯ + \frac{x}{(1 + x)^{n}} )

4. f(x), g(x) が連続関数とする。 φ(x) = max{f(x), g(x)} とすると、 φ(x) も連続関数となることを示せ。

5. (1) 区間 I において f(x) も g(x) も連続とする。有理数 x に対して f(x) = g(x) が成り立つとき、 I 上のすべての点 x に対しても f(x) = g(x) が成り立つことを示せ。

(2) f が、すべての x, y ∈ R に対し f(x + y) = f(x) + f(y) を満たしかつ連続ならば、 f(x) = f(1)x (x ∈ R) となることを示せ。

注意 (2) で f が連続でない場合、 f(x + y) = f(x) + f(y) を満たしかつ f(x) = f(1)x を満たさない関数 f を構成できる。

6. R 上の連続関数 f が次の条件 (∗) を満たせば、 y = f(x) のグラフは直線 y = x と必ず交わることを証明せよ。

(∗) |f(x)| ≤ a|x| + b (x ∈ R)

ただし、 0 < a < 1, b > 0 は定数。ヒント中間値の定理を用いる。