微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト 2 回目出題日 2001 年 5 月 8 日 1. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{n→∞} \frac{2^{n}}{n^{2}} (2) lim_{n→∞} (2^{n} + 3^{n})^{\frac{1}{n}}

2. e の定義 lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e から、 lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n})^{n} = \frac{1}{e} を導け。

3. 収束の定義から、 lim_{n→∞} a_{n} = α で α ≠ 0 ならば

lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{α}

を導け。

4. 「有界な単調数列は収束する」を用いて、

a_{1} = 10, a_{n+1} = 1 + \sqrt{a_{n}} (n = 1, 2, …)

によって定義される数列 {a_{n}} に対し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

5. a_{1} = 1, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}}, n ≥ 1 によって定義される数列について以下を示せ。

(1) |a_{n+1} − a_{n}| ≤ \frac{1}{2\sqrt{2}}|a_{n} − a_{n−1}|, n ≥ 2, を示せ。

(2) {a_{n}} が Cauchy 列であることを示せ。

(3) (2) より {a_{n}} は収束列である。 lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

6. A, B を R の空でない有界な部分集合とし

C = { x + y; x ∈ A, y ∈ B }

とおく。このとき、

inf C = inf A + inf B

を証明せよ。