微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2001 年 4 月 24 日 1. 第 n 項が、次で与えられる数列の極限値を求めよ。（高校の復習）

(1) \sqrt{n + 2} − \sqrt{n − 1} (2) \frac{\sqrt{n^{3} + n + 1} − \sqrt{n^{3} − n + 1}}{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}

(3) \frac{cos nθ}{n} (θ は定数) (4) \frac{1}{n^{3}} \{1 · 2 + 2 · 3 + ⋯ + n · (n + 1)\}

(5) \frac{1}{1 · 2} + \frac{1}{2 · 3} + ⋯ + \frac{1}{n · (n + 1)}

2. 次の集合 A に対し、 sup A, inf A を求めよ。 (答えのみでなく理由も書け。 )

(1) A = \{ x ∈ R ; |x − 2| < 1 \} (2) A = \{ (−1)^{n+1} + (−\frac{1}{n})^{n} ; n ∈ N \}

3. (1) lim_{n→∞} a_{n} = α の定義を述べよ。

(2) 上記を用いて、 lim_{n→∞} a_{n} = α ならば lim_{n→∞} |a_{n}| = |α| を示せ。

4. (1) lim_{n→∞} a_{n} = ∞ の定義を述べよ。

(2) a_{n} = (n!)^{1/n} とする。 {a_{n}} が単調増大数列であることを示せ。

(3) (2) で定めた a_{n} に対し、 lim_{n→∞} a_{n} = ∞ を示せ。ヒント勝手な正数 M に対し、ある番号 n_{0} と正数 C がとれて

n > n_{0} ⟹ n! ≥ CM^{n}

となることをまず示せ。 (上記の n_{0} と C を M などを用いて具体的に表わせ。 )