微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2001 年 8 月 3 日の試験の解答の要点

1 (1) ∫ \frac{dx}{x^{3}+1} = ∫ \{\frac{1/3}{x+1} − \frac{1}{6} \frac{2x−1}{x^{2}−x+1} + \frac{1/2}{x^{2}−x+1}\} dx (cf . 教科書 p.151 問２ (1))

(2) ∫ \frac{x^{3}+1}{x(x−1)^{2}} dx = ∫ \{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x−1} + \frac{2}{(x−1)^{2}} \} dx = x + log |x| + log |x − 1| − \frac{2}{x−1}

(3) \frac{4}{3}x^{3/4} − 4x^{1/4} + 4 Arctan \sqrt[4]{x} (t = \sqrt[4]{x} とおけ)

(4) \frac{1}{4}(x + \sqrt{x^{2} + 1})^{2} + \frac{1}{2} log(x + \sqrt{x^{2} + 1}) (t = x + \sqrt{x^{2} + 1} とおけ)

(5) t = \sqrt{\frac{x+1}{2−x}} とすると ∫ \frac{dx}{(x−1)\sqrt{2+x−x^{2}}} = ∫ \frac{2dt}{t^{2}−2} = ⋯ = \frac{1}{\sqrt{2}} log |\frac{\sqrt{x+1}−\sqrt{2}\sqrt{2−x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\sqrt{2−x}} |

(6) t = x + \sqrt{2 + x^{2}} とおくと ∫ (与式)dx = ∫ (\frac{1}{2}t^{1/2} + t^{−3/2}) dx = \frac{1}{3}(x + \sqrt{2 + x^{2}})^{3/2} − \frac{2}{\sqrt{x+\sqrt{2+x^{2}}}}

(7) t = tan \frac{x}{2} とすると ∫ (与式)dx = ∫ \frac{t^{2}+2t+1}{2t}dt = \frac{1}{2} log | tan \frac{x}{2}| + \frac{1}{4} tan^{2} \frac{x}{2} + tan \frac{x}{2}

(8) \frac{1}{2} Arctan(2 tan x) (t = tan x とおけ)

(9) t = tan \frac{x}{2} として ∫ (与式)dx = ∫ \{\frac{2}{t^{2}+1} − \frac{2}{(t+1)^{2}} \} dt = 2 Arctan t + \frac{2}{t+1} = x + \frac{2}{1+tan \frac{x}{2}} 2 漸化式は授業中示した。 I_{3} = \frac{1}{4} \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}} + \frac{3}{8} \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}} + \frac{3}{8} Arctan x 3 (1)–(4) すべて収束（(1)–(3) は絶対収束、 (4) は条件収束, (1)–(3) は絶対収束すれば収束することを

用いる。 )

(1) 0 ≤ e^{x} − 1 ≤ ex (0 ≤ x ≤ 1) より ∫_{0}^{1} |\frac{1−e^{x}}{x^{4/3}} | dx ≤ e ∫_{0}^{1} x^{−1/3}dx = 3e/2

(2) ある M がとれて log x ≤ x^{1/4} (1 ≤ x < ∞) より ∫_{1}^{∞} |\frac{log x}{x^{3/2}} | dx ≤ M ∫_{1}^{∞} x^{−5/4}dx = 5M (別解） ∫_{1}^{∞} \frac{log x}{x^{3/2}}dx = ∫_{1}^{∞} (−2x^{−1/2})′ log xdx = ∫_{1}^{∞} \frac{2}{x^{3/2}} dx = \frac{4}{5} と計算してもよい。

(3) f(x) = \frac{sin x}{x(π−x)} (0 < x < π) に対し f(0) = f(π) = 1/π とおくと、 f(x) は [0, π] で連続だから与式は収束する。

(4) ∫_{1}^{M} \frac{cos x}{x^{1/2}} dx = [\frac{sin x}{x^{1/2}}]_{1}^{M} + \frac{1}{2} ∫_{1}^{M} \frac{sin x}{x^{3/2}}dx より教科書 p.157 例題 3 と同様に示せる。

総括配点は各 5 点で、 70 点満点です。