微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2001 年 6 月 19 日の試験の解答の要点

1 l’Hopital の定理を断らずに用いている場合減点した。 (1) は標準的、 (2) はまず通分する。 (3),(4) はともに対数をとって考える。ただし、 (3) は\frac{1}{x^{2}} \{log tan x − log x\} と変形すると x → 0 より (x > 0 と好意的に解釈しても) \frac{−∞+∞}{0} となり不定形ではないので注意を要する。

2 |\frac{x+1}{x−1} | ≤ 1 より定義域は x ≤ 0 となる。 x ≤ 0 より\sqrt{(x − 1)^{2}} = 1 − x に注意すれば f′(x) = −\{(1 − x)\sqrt{−x}\}^{−1} がわかる。

3 略

4 (1) Leibniz の公式を用いよ。 (2) sin 3x cos x = \frac{1}{2}(sin 4x + sin 2x) と (sin ax)^{(n)} = a^{n} sin (ax + \frac{n}{2}π) を用いよ。

(3) \frac{1}{x^{2}−3x+2} = \frac{1}{x−2} − \frac{1}{x−1} と \{\frac{1}{x−a}\}^{(n)} = (−1)^{n}n!(x − a)^{−n−1} を用いよ。

5 (1) ∀x ∈ (a, b] に対し平均値の定理から f(x) − f(a) = (x − a)f′(ξ) (a < ξ < x) となるが、 f′(ξ) = 0 より、 f(x) = f(a) (a < x ≤ b) を得る。 (2) 略

(3) f(x) = Arcsin x + Arccos x とすると f′(x) = 0 より (1) から f(x) = f(\frac{1}{2}) = \frac{π}{2} ((2) も利用) を得る。 sin(Arcsin x + Arccos x) = 1 を利用した解答については −\frac{π}{2} ≤ Arcsin x + Arccos x ≤ \frac{3π}{2} に言及する必要があることに注意。

6 平均値の定理より f(x + β) − f(x) = βf′(x + θβ) (0 < θ < 1) と変形して x → ∞ とせよ。

7 例えば、以下のようにして示せる。 f′′(a) ≠ 0 より f′ は x = a の近くで逆関数 (f′)^{−1} をもつから θ = \frac{1}{h} \{(f′)^{−1}(\frac{f(a+h)−f(a)}{h}) − a\} と変形し l’Hopital の定理を用いて計算していけば示せる。 (Taylor の公式を用いた証明が標準的であろう。 )

総括配点は 5(1),(2) を除き各 5 点で、 65 満点です。 1(2)–(4) は少し面倒でしょうが、 4

は勉強さえしていれば容易な問題のはずです。杉浦 誠