微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2001 年 6 月 5 日の試験の解答のヒント

1 (1) lim_{x→0}(1 + 2x)^{−1} log (1 + \frac{x^{2}}{1+2x})^{\frac{1+2x}{x^{2}}} と変形し、 lim_{h→0}(1 + h)^{1/h} = e を用いよ。

(2) sin \sqrt{x + a} − sin \sqrt{x} = 2 cos \frac{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}{2} sin \frac{\sqrt{x+a}−\sqrt{x}}{2} を用いよ。 2 f′_{+}(0), f′_{−}(0) を定義に従って求める。もし f′_{+}(0) = f′_{−}(0) ならば f′(0) は存在する。

もし f′_{+}(0) ≠ f′_{−}(0) ならば f′(0) は存在しない。

\underline{注意}一般に f(x) が [0, a) 上連続かつ (0, a) 上微分可能で lim_{x→+0}f′(x) = α が存在すれば、 f′_{+}(0) = α となる（平均値の定理の系）。この定理を用いた解答は（この定理の利用を明記したもの以外）不正解とした。実際、問題 3 (5) のようなことも起こるので、このような極限操作は非常な注意を要する。

3 (1) 100(2x + 1)(x^{2} + x + 1)^{99} (2) (1 + x^{2})^{1/x}{2(1 + x^{2})^{−1} − x^{−2} log(1 + x^{2})} (3) e^{2x}(2x − 1)x^{−2} + (sin x cos x)^{−1} (4) 1/\sqrt{1 + x^{2}}

(5) x ≠ 0 のとき f′(x) = 2x sin \frac{1}{x} − cos \frac{1}{x}, f′(0) = lim_{h→0} \frac{1}{h} (h^{2} sin \frac{1}{h} − 0) = 0

ここでは f′(0) は存在しても、 lim_{x→0}f′(x) は存在しないことに注意されたい。 4 略

5 \frac{f(c + ah) − f(c − bh)}{(a + b)h} = \frac{a}{a + b} \frac{f(c + ah) − f(c)}{ah} + \frac{b}{a + b} \frac{f(c − bh) − f(c)}{−bh} を用いよ。