微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 補充問題出題日 2000 年 4 月 13 日

1. 次の集合 A に対し、 sup A, inf A, max A, min A を求めよ。

(1) A = { x ∈ R ; −1 < x ≤ 1 } (2) A = { x ∈ R ; |x − a| < 1 }

(3) A = \{ x ∈ R ; |x| < |a| + 1 \} (4) A = \{ r ∈ Q ; −1 ≤ r ≤ \sqrt{2} \}

(5) A = \{ (−1)^{n+1} + (−\frac{1}{n})^{n} ; n ∈ N \} (6) A = \{ n sin \frac{1}{n} ; n ∈ N \}

2. A ⊂ R, A ≠ ∅ に対し

B = { −x; x ∈ A }

とおく。このとき、

sup B = − inf A, inf B = − sup A

を証明せよ。ただし、 −(−∞) = ∞, −(∞) = −∞ と約束する。

3. A を開集合 (0, ∞) に含まれる空でない部分集合とし

B = \{ \frac{1}{x} ; x ∈ A \}

とおく。このとき、

sup B = \frac{1}{inf A}, inf B = \frac{1}{sup A}

を証明せよ。ただし、\frac{1}{0} = ∞, \frac{1}{∞} = 0 と約束する。

4. A, B を R の空でない有界な部分集合とし

C = { x + y; x ∈ A, y ∈ B }

とおく。このとき、

sup C = sup A + sup B

を証明せよ。

5. lim_{n→∞} a_{n} = a ならば lim_{n→∞} |a_{n}| = |a| を示せ。

6. a_{1} > 0, a_{n+1} = \frac{1}{a_{1} + ⋯ + a_{n}} (n ∈ N) とする。 \{a_{n}\} が単調減少数列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

7. 次の数列 {a_{n}} が Cauchy 列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

(1) a_{1} = 1, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_{n} + 1}  (n ∈ N)
(2) a_{1} ≥ 0, a_{n+1} = \sqrt{a_{n} + 1}  (n ∈ N)
(3) α > 0, β > 0, α + β = 1, a_{n} = αa_{n−1} + βa_{n−2}  (n ≥ 3)