練習問題

レポートとして提出すれば, 評価します. 3, 4 は L^ATEXで書いて下さい.

問題 1

9-1.c での台形公式の計算の誤差は, どの程度か. 実際の計算結果と $\pi$の値とのずれ, 理論的に導かれる誤差を比較せよ. ($\pi$の値は, /usr/include/math.h にあります. /usr/include/math.h には 数値計算に必要となる様々な定数の定義があります. $\pi$の値などが, プログラム で必要となる時には, ここで定義された定数を利用します.)

問題 2

確率論や統計学で重要な「正規分布」に現れる関数 $${f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}}$$ を -1.96 から 1.96 まで積分した値の近似値を 台形公式を用いて求めるプログラムを 作成せよ.(ヒント: 答は, 0.950 に近い) 分割の個数を 16, 128, 1024, 16384 とし, 0.950 との誤差を比較せよ.

問題 3

(4) 式を示せ. すなわち, 3点 $[a, f(a)],  [(a+b)/2, f((a+b)/2)],  [b, f(b)]$ を通る 2次関数を $g(x)$ とする時, 次の式を証明せよ.

$$\int_a^b g(x) dx =\frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f(\frac{a+b}{2}))$$

問題 4

(5)式を導け.

問題 5

を区間を 65536等分してシンプソンの公式を用いて求めるプログラムを書け.

問題 6

とおくとき, $a_{1000}, a_{10000}, a_{100000}$ を計算するプログラムを書け.
プログラムは, 丸め誤差ができる限り起こらないように工夫する事. ちなみに は, Euler の定数と呼ばれています.